Questões do Enem sobre números complexos
Questões do Enem sobre números complexos o assunto de matemática que mais cai na prova do Enem
Questões para o Enem sobre números complexos. São questões com respostas com comentários.
Em um gráfico cartesiano, um ponto P representa um número complexo z = 3 + 4i. Qual é a distância entre a origem e o ponto P?
Alternativas:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Comentário: Para calcular a distância entre a origem e o ponto P, utilizamos o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos pontos O(0,0), P(3,4) e Q(3,0). A hipotenusa desse triângulo é a distância que procuramos, e seu valor é √(3² + 4²) = 5. Portanto, a alternativa correta é a letra c).
Considere os números complexos z = 2 + 3i e w = -1 - 4i. Qual a forma trigonométrica do número complexo z/w?
Alternativas:
a) √10 cos(θ - π/3) + √10 i sen(θ - π/3), onde θ é o argumento do número complexo z.
b) √10 cos(θ + π/3) + √10 i sen(θ + π/3), onde θ é o argumento do número complexo w.
c) √10 cos(θ - π/6) + √10 i sen(θ - π/6), onde θ é o argumento do número complexo w.
d) √10 cos(θ + π/6) + √10 i sen(θ + π/6), onde θ é o argumento do número complexo z.
e) √13 cos(θ - π/4) + √13 i sen(θ - π/4), onde θ é o argumento do número complexo z/w.
Comentário: Para encontrar a forma trigonométrica de um número complexo, precisamos calcular seu módulo e argumento. O módulo do número complexo z/w é dado pela razão dos módulos de z e w, ou seja, |z/w| = |z| / |w| = √(2² + 3²) / √((-1)² + (-4)²) = √10 / √17. Para encontrar o argumento, usamos a propriedade que diz que o argumento da razão de dois números complexos é igual à diferença dos argumentos dos números complexos. Portanto, argumento de z/w é argumento de z - argumento de w. Sabendo que o argumento de z é θ = arctan(3/2) e o argumento de w é θ' = arctan(-4/-1), temos que o argumento de z/w é θ - θ' = arctan(3/2) - arctan(4) = arctan(-11/2). Dessa forma, a forma trigonométrica
Enunciado: Considere os números complexos z = 2 + i e w = 1 - 3i. Qual o argumento do número complexo z.w / |z|^2?
Alternativas:
a) π/4
b) π/2
c) 3π/4
d) π
e) 5π/4
Comentário: Primeiramente, devemos calcular z.w e |z|^2. Temos que z.w = (2 + i)(1 - 3i) = 5 - i, e |z|^2 = 2^2 + 1^2 = 5. Portanto, z.w / |z|^2 = (5 - i)/5. A forma trigonométrica desse número complexo é dada por √(5^2 + (-1)^2)/5 . cos(θ) + √(5^2 + (-1)^2)/5 . sen(θ), onde θ é o argumento desse número. Simplificando, temos que cos(θ) = 5/√26 e sen(θ) = -1/√26, o que implica que θ = -π/4. Portanto, a alternativa correta é a letra e), 5π/4.
Qual é o resultado da multiplicação dos números complexos (3 + 2i) e (1 - 4i)?
A) 2 + 11i
B) 9 - 10i
C) -2 + 11i
D) 11 + 2i
Comentário: A resposta correta é a letra B. Para multiplicar os números complexos, é necessário utilizar a propriedade distributiva e a definição da unidade imaginária i^2 = -1. Após a multiplicação, obtém-se o resultado de 9 - 10i.
Elabore outra questão: Qual é o módulo do número complexo (4 - 3i)?
A) 5
B) 7
C) 3
D) 12
Comentário: A resposta correta é a letra A. O módulo ou valor absoluto de um número complexo é a distância entre esse número e a origem, no plano de Argand-Gauss. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos obter a magnitude do número complexo como sendo a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária. Nesse caso, o resultado é a raiz de 25, que equivale a 5.
Um pintor está criando um mural na parede de um prédio e precisa calcular a distância entre dois pontos complexos no plano. Os pontos A e B correspondem aos números complexos (1 + 2i) e (5 - 3i), respectivamente. Qual é a distância euclidiana entre os pontos A e B?
A) 8
B) 12
C) 5
D) 10
Comentário: A distância euclidiana entre dois pontos complexos pode ser calculada utilizando o módulo da diferença entre eles. Utilizando a fórmula √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), onde x e y representam as partes real e imaginária dos números complexos, podemos calcular a distância entre os pontos A e B como sendo a raiz quadrada de ((5 - 1)^2 + (-3 - 2)^2), que é aproximadamente 5. A resposta correta é a letra C.
Qual é o valor de (1 + i) elevado à quarta potência?
A) -4
B) -2i
C) 4
D) 2i
E) -i
Resposta: Para resolver essa questão, é necessário elevar (1 + i) à quarta potência. Utilizando a fórmula para potências de números complexos, (a + bi)^n = a^n + n * a^(n-1)bi + (n 2) * a^(n-2) * b^2 i^2 + ... + n * abi^(n-1) + bi^n, temos:
(1 + i)^4 = 1^4 + 4 * 1^3 * i + 6 * 1^2 * i^2 + 4 * 1 * i^3 + i^4
(1 + i)^4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1
(1 + i)^4 = -3
Portanto, a alternativa correta é a letra A), -4.
Assunto de matemática que mais cai na prova do Enem
Para os alunos que adoram estudar matemática para o Enem vou tentar resumir um pouco para vocês e falar da importância fundamental de estudar os números complexos para o Enem. Os números complexos são uma extensão dos números reais e são compostos por um termo real e um termo imaginário. Então eles podem ser representados no plano cartesiano como um ponto de coordenadas (a, b), em que a é a parte real e b é a parte imaginária do número complexo.
Vou explicar melhor para que o candidato a prova do Enem entenda de uma maneira mais simples e direta sobre essa assunto de matemática que mais cai na prova do Enem.
Vamos para minha explicação, estudar números complexos é importante para o Enem, uma vez que eles aparecem em algumas questões de Matemática de provas anteriores. O total conhecimento sobre números complexos pode ajudar os estudantes a entender conceitos matemáticos avançados e facilitar a resolução de equações.
Vou dizer de uma maneira mais básica para que seja bem representado, em algumas questões do Enem, é necessário utilizar números complexos para encontrar soluções de equações. O conhecimento importante sobre números complexos pode ser útil na compreensão de tópicos como cálculo vetorial e análise de circuitos elétricos AC.
Posso e devo citar também a área do conhecimento em que os números complexos são relevantes é na física. Por exemplo, eles são utilizados em ondulatória para a descrição de ondas eletromagnéticas e na descrição de oscilações amortecidas em sistemas físicos.
Quero deixar bem frisado aqui que estudar números complexos é uma parte importante do aprendizado da matemática e pode ajudar os estudantes a alcançar um melhor desempenho no Enem e em outras provas. Assunto sobre números complexos pode ser aplicado em diversas áreas, como física e engenharia. Então podemos dizer de verdade: recomendamos que os estudantes não subestimem a importância dos números complexos durante seus estudos de matemática.
Fique atento porque esse á o assunto de matemática que mais caí na prova do Enem. Um tema de matemática muito cobrado na prova. Então estude tudo sobre esse assunto para o Enem.
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